3 вариант. Задание № 4. Найти объём тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной линиями y = x²/2, y = 2√2, x = 0, вокруг оси Oy.

Выразим x² через y: из y = x²/2 получаем x² = 2y. Область при каждом y от 0 до 2√2 ограничена осью Oy и параболой; при вращении вокруг Oy получаются диски радиуса x, поэтому R² = 2y.

V = π∫₀²√2 2y dy = π[y²]₀²√2 = π(8 − 0).

Ответ: 8π.