2 вариант. Задание № 2. Найти объём тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной линиями y = 2x, y = x + 3, x = 0, x = 1, вокруг оси Oy.

На отрезке [0; 1] верхняя линия — y = x + 3, нижняя — y = 2x. Применим метод цилиндрических слоёв: радиус x, высота (x + 3) − 2x = 3 − x.

V = 2π∫₀¹x(3 − x) dx = 2π[3x²/2 − x³/3]₀¹.

V = 2π(3/2 − 1/3) = 7π/3.

Ответ: 7π/3.