2 вариант. Задание № 4. Найти объём тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной линиями y = 6/x, y = 1, y = 6, x = 0, вокруг оси Oy.

Выразим x через y: x = 6/y. При 1 ≤ y ≤ 6 область ограничена осью Oy (внутренний радиус 0) и кривой x = 6/y (внешний радиус 6/y). При вращении вокруг Oy получаются диски.

V = π∫₁⁶(6/y)² dy = 36π∫₁⁶y⁻² dy.

V = 36π[−1/y]₁⁶ = 36π(1 − 1/6) = 30π.

Ответ: 30π.