10. \(\begin{cases}\sqrt{\frac{x}{y}}-\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac32,\\ x+y+xy=9.\end{cases}\)

Из-за знаменателей требуется \(x\ne0\), \(y\ne0\); подкоренные дроби должны быть неотрицательны, поэтому \(x\) и \(y\) одного знака. Обозначим \(a=\sqrt{\frac{x}{y}}>0\). Тогда \(\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac1a\), и \(a-\frac1a=\frac32\). Отсюда \(2a^2-3a-2=0\), то есть \((2a+1)(a-2)=0\). Поскольку \(a>0\), получаем \(a=2\), значит, \(x=4y\).

Подставим во второе уравнение: \(5y+4y^2=9\), или \(4y^2+5y-9=0\). Корни: \(y=1\) и \(y=-\frac94\). Тогда соответственно \(x=4\) и \(x=-9\). Обе пары удовлетворяют исходной системе.

Ответ: \((4,1)\) и \((-9,-\frac94)\).