8. \(\sqrt[3]{x-9}+\sqrt[3]{2x-12}=\sqrt[3]{3x-3}\)

Обозначим \(a=\sqrt[3]{x-9}\), \(b=\sqrt[3]{2x-12}\). Тогда \(a+b=\sqrt[3]{3x-3}\). Поскольку \(a^3+b^3=3x-21\), возведение равенства в куб приводит к условию \(ab(a+b)=6\).

Это условие можно записать как \(\sqrt[3]{(x-9)(2x-12)(3x-3)}=6\), а значит, \((x-9)(2x-12)(3x-3)=216\). Получаем кубическое уравнение \(6x^3-78x^2+270x-108=0\), или \(x^3-13x^2+45x-18=0\). Его действительные корни приблизительно равны \(0.468\), \(4.081\) и \(8.451\). Для этих корней исходное равенство выполняется, поскольку условие \(ab(a+b)=6\) получено из его кубирования.

Ответ: \(x\approx0.468;\ 4.081;\ 8.451\).