10. Сформулируйте и докажите теорему косинусов.

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.\]

Доказательство. Введём координаты: пусть одна вершина имеет координаты \((0;0)\), сторона длины \(c\) лежит на оси \(Ox\), а третья вершина имеет координаты \((b\cos A;b\sin A)\). Тогда:

\[a^2=(b\cos A-c)^2+(b\sin A)^2.\]

Раскрывая скобки и используя \(\sin^2A+\cos^2A=1\), получаем:

\[a^2=b^2\cos^2A-2bc\cos A+c^2+b^2\sin^2A=b^2+c^2-2bc\cos A.\]