9. Сформулируйте и докажите теорему синусов.

Теорема синусов. В любом треугольнике отношения сторон к синусам противолежащих углов равны:

\[\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R,\]

где \(R\) — радиус описанной окружности.

Доказательство. По формуле площади:

\[S=\frac12 bc\sin A.\]

С другой стороны, если \(a=2R\sin A\), то аналогично для остальных сторон получаем:

\[a=2R\sin A,\quad b=2R\sin B,\quad c=2R\sin C.\]

Делением соответствующих равенств на синусы углов получаем требуемое равенство.