5. Докажите основное тригонометрическое тождество.

Пусть точка \(A(x;y)\) лежит на окружности радиуса \(R\) с центром в начале координат. По теореме Пифагора:

\[x^2+y^2=R^2.\]

Разделим равенство на \(R^2\):

\[\left(\frac{x}{R}\right)^2+\left(\frac{y}{R}\right)^2=1.\]

Так как \(\frac{x}{R}=\cos\alpha\), а \(\frac{y}{R}=\sin\alpha\), получаем:

\[\boxed{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1}.\]