10. В прямоугольном параллелепипеде ребро CD = 4, ребро BC = 2√5, ребро CC₁ = 4. Точка K — середина ребра DD₁. Найдите площадь сечения, проходящего через точки C₁, B₁ и K.

Сечение — треугольник \(B_1C_1K\). Его сторона \(B_1C_1=BC=2\sqrt{5}\).

Так как \(K\) — середина \(DD_1\), то \(DK=2\). В прямоугольном треугольнике с катетами 4 и \(BC-DK=2\sqrt{5}-2\) удобнее вычислить непосредственно по координатам: можно взять \(B_1=(4,0,4)\), \(C_1=(4,2\sqrt{5},4)\), \(K=(0,2\sqrt{5},2)\). Тогда \(B_1K=\sqrt{4^2+(2\sqrt{5})^2}=6\), а \(C_1K=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}\).

Треугольник равнобедренный со сторонами \(2\sqrt{5},2\sqrt{5},6\). Высота к основанию 6 равна \(\sqrt{(2\sqrt{5})^2-3^2}=\sqrt{11}\). Площадь \(S=\frac12\cdot6\sqrt{11}=3\sqrt{11}\).

Ответ: \(3\sqrt{11}\).