6. Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна 10 и образует с плоскостью этой грани угол 30°. Найдите объём параллелепипеда.

Перпендикулярная составляющая диагонали к квадратной грани равна высоте параллелепипеда: \(h=10\sin30^\circ=5\).

Проекция пространственной диагонали на грань — диагональ квадрата: \(d=10\cos30^\circ=5\sqrt{3}\). Если сторона квадрата равна \(a\), то \(a\sqrt{2}=5\sqrt{3}\), поэтому \(a^2=75/2\).

Тогда \(V=a^2h=(75/2)\cdot5=375/2\).

Ответ: \(375/2\).