10. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 68, а площадь равна 136, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её большего основания.

Пусть основания равны a и b (a — большее), боковая сторона — l, высота — h. Для описанной трапеции a + b = 2l. Из периметра 2(a + b) = 68, поэтому a + b = 34 и l = 17. По площади h = 2 · 136 / 34 = 8. Горизонтальный сдвиг боковой стороны x = √(17² − 8²) = 15, значит a − b = 30. Решая систему a + b = 34, a − b = 30, получаем a = 32, b = 2.

Расстояние от точки пересечения диагоналей до большего основания равно h · a/(a + b) = 8 · 32/34 = 128/17.

Ответ: 128/17.