7. В треугольнике ABC на медиане BM отмечена точка K так, что BK : KM = 5 : 2. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника CKP к площади треугольника ABK.

Возьмём координаты B(0; 0), C(1; 0), A(u; v). Тогда M((u + 1)/2; v/2), а из BK : KM = 5 : 2 получаем K((5u + 5)/14; 5v/14). Прямая AK пересекает BC в точке P; из уравнения прямой получаем BP/PC = 5/9, поэтому PC = 9/14 · BC.

Площади треугольников CKP и ABK можно найти через их основания на BC и высоты. Высота K над BC равна 5v/14, а высота A над BC — v. Следовательно, S(CKP)/S(ABK) = (PC · 5v/14)/(BP · v/14) = 9/5.

Ответ: 9/5.