8. В треугольнике ABC на медиане BM отмечена точка K так, что BK : KM = 4 : 5. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника CKP к площади треугольника AKM.

Пусть B(0; 0), C(1; 0), A(u; v). Тогда M((u + 1)/2; v/2), а K = (5B + 4M)/9 = (2(u + 1)/9; 2v/9). Пересечение AK с BC даёт BP/PC = 2/7, значит PC = 7/9 · BC.

Высота треугольника CKP к BC равна 2v/9, поэтому S(CKP) = (7/9 · BC)(2v/9)/2. Для треугольника AKM используем основание AM и высоту из K; вычисление по координатам даёт S(AKM) = (5/18)S(ABC), тогда как S(CKP) = (14/81)S(ABC). Их отношение равно (14/81)/(5/18) = 28/45.

Ответ: 28/45.