9. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 100, а площадь равна 375, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её большего основания.

Обозначим большее основание через a, меньшее — через b, боковую сторону через l, высоту через h. Для трапеции, в которую можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны: a + b = 2l. Из периметра следует a + b + 2l = 100, значит l = 25 и a + b = 50. Площадь даёт h = 2 · 375 / 50 = 15.

В равнобедренной трапеции горизонтальный сдвиг каждой боковой стороны равен x = √(25² − 15²) = 20. Поэтому a − b = 2x = 40; вместе с a + b = 50 получаем a = 45 и b = 5.

Точка пересечения диагоналей делит высоту в отношении большего основания к меньшему. Её расстояние до большего основания равно h · a/(a + b) = 15 · 45/50 = 13,5.

Ответ: 13,5.