1095. 2) \(\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{a-\sqrt{a^2-x^2}} - \frac{a-\sqrt{a^2-x^2}}{a+\sqrt{a^2-x^2}}\) при \(a=3, x=\sqrt{5}\)

Решение:

Приведём дроби к общему знаменателю:

\[ \frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{a-\sqrt{a^2-x^2}} - \frac{a-\sqrt{a^2-x^2}}{a+\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{(a+\sqrt{a^2-x^2})^2 - (a-\sqrt{a^2-x^2})^2}{(a-\sqrt{a^2-x^2})(a+\sqrt{a^2-x^2})} \]

Раскроем скобки в числителе по формуле \((p+q)^2 - (p-q)^2 = 4pq\):

\[ \text{Числитель} = 4a\sqrt{a^2-x^2} \]

Знаменатель — разность квадратов:

\[ \text{Знаменатель} = a^2 - (a^2-x^2) = a^2 - a^2 + x^2 = x^2 \]

Таким образом, выражение равно:

\[ \frac{4a\sqrt{a^2-x^2}}{x^2} \]

Подставим значения \(a=3\) и \(x=\sqrt{5}\):

\[ a^2 = 3^2 = 9 \]

\[ x^2 = (\sqrt{5})^2 = 5 \]

\[ a^2-x^2 = 9-5 = 4 \]

\[ \sqrt{a^2-x^2} = \sqrt{4} = 2 \]

Подставляем значения в итоговое выражение:

\[ \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{5} = \frac{24}{5} \]

Ответ: \(\frac{24}{5}\)