Упростить выражение (1096—1103). 1096. 1) \(\frac{1}{x^{-\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{-\frac{1}{2}}-1}\)

Решение:

Преобразуем выражение:

\[ \frac{1}{x^{-\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{-\frac{1}{2}}-1} = x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{-\frac{1}{2}}-1} \]

Приведём ко второму слагаемому общий знаменатель:

\[ = \frac{x^{\frac{1}{2}}(x^{-\frac{1}{2}}-1) - 1}{x^{-\frac{1}{2}}-1} = \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{-\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{-\frac{1}{2}}-1} \]

\[ = \frac{1 - \sqrt{x} - 1}{x^{-\frac{1}{2}}-1} = \frac{-\sqrt{x}}{x^{-\frac{1}{2}}-1} = \frac{-\sqrt{x}}{\frac{1}{\sqrt{x}}-1} \]

\[ = \frac{-\sqrt{x}}{\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}} = \frac{-\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{1-\sqrt{x}} = \frac{-x}{1-\sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{x}-1} \]

Ответ: \(\frac{x}{\sqrt{x}-1}\)