1101. \(\left(\frac{9a-25a^{-1}}{3a^{\frac{1}{2}}-5a^{-\frac{1}{2}}} - \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}+2a^{-\frac{1}{2}}}\right) : \frac{a+7+10a^{-1}}{a+2}\)

Решение:

Рассмотрим первую дробь:

\[ \frac{9a-25a^{-1}}{3a^{\frac{1}{2}}-5a^{-\frac{1}{2}}} = \frac{9a - \frac{25}{a}}{3\sqrt{a} - \frac{5}{\sqrt{a}}} \]

Приведём числитель и знаменатель к общему знаменателю:

\[ \text{Числитель} = \frac{9a^2-25}{a} \]

\[ \text{Знаменатель} = \frac{3a-5}{\sqrt{a}} \]

Разделим числитель на знаменатель:

\[ \frac{9a^2-25}{a} : \frac{3a-5}{\sqrt{a}} = \frac{9a^2-25}{a} \cdot \frac{\sqrt{a}}{3a-5} \]

Разложим \(9a^2-25\) как разность квадратов \((3a)^2 - 5^2\):

\[ = \frac{(3a-5)(3a+5)}{a} \cdot \frac{\sqrt{a}}{3a-5} = \frac{3a+5}{\sqrt{a}} \]

Теперь вычтем вторую дробь:

\[ \frac{3a+5}{\sqrt{a}} - \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}+2a^{-\frac{1}{2}}} = \frac{3a+5}{\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{a}+\frac{2}{\sqrt{a}}} \]

\[ = \frac{3a+5}{\sqrt{a}} - \frac{1}{\frac{a+2}{\sqrt{a}}} = \frac{3a+5}{\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}}{a+2} \]

Приведём к общему знаменателю \(\sqrt{a}(a+2)\):

\[ = \frac{(3a+5)(a+2) - \sqrt{a}\cdot\sqrt{a}}{\sqrt{a}(a+2)} = \frac{3a^2+6a+5a+10 - a}{\sqrt{a}(a+2)} \]

\[ = \frac{3a^2+10a+10}{\sqrt{a}(a+2)} \]

Теперь рассмотрим выражение, на которое нужно разделить:

\[ \frac{a+7+10a^{-1}}{a+2} = \frac{a+7+\frac{10}{a}}{a+2} = \frac{\frac{a^2+7a+10}{a}}{a+2} = \frac{a^2+7a+10}{a(a+2)} \]

Разложим числитель \(a^2+7a+10\) на множители: \((a+2)(a+5)\).

\[ = \frac{(a+2)(a+5)}{a(a+2)} = \frac{a+5}{a} \]

Теперь выполним деление:

\[ \frac{3a^2+10a+10}{\sqrt{a}(a+2)} : \frac{a+5}{a} = \frac{3a^2+10a+10}{\sqrt{a}(a+2)} \cdot \frac{a}{a+5} \]

\[ = \frac{a(3a^2+10a+10)}{\sqrt{a}(a+2)(a+5)} = \frac{\sqrt{a}(3a^2+10a+10)}{(a+2)(a+5)} \]

Ответ: \(\frac{\sqrt{a}(3a^2+10a+10)}{(a+2)(a+5)}\)