1099. \(\frac{a^{-1}-b^{-1}}{a^{-2}-b^{-2}}\)

Решение:

Перепишем выражение с положительными степенями:

\[ \frac{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}{\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}} = \frac{\frac{b-a}{ab}}{\frac{b^2-a^2}{a^2b^2}} \]

Разложим знаменатель \(b^2-a^2\) как разность квадратов:

\[ = \frac{\frac{b-a}{ab}}{\frac{(b-a)(b+a)}{a^2b^2}} \]

Теперь разделим первую дробь на вторую (умножим на перевёрнутую):

\[ = \frac{b-a}{ab} \cdot \frac{a^2b^2}{(b-a)(b+a)} \]

Сократим \((b-a)\) и \(ab\):

\[ = \frac{ab}{b+a} \]

Ответ: \(\frac{ab}{a+b}\)