11. (4 балла) Через точку пересечения диагоналей квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются вершинами ещё одного квадрата.

Пусть прямые пересекают стороны исходного квадрата в точках \(P,Q,R,S\), расположенных по порядку вокруг квадрата, а \(O\) — его центр.

1. Поворот на \(90°\) вокруг центра \(O\) переводит квадрат в себя. При этом каждая из двух перпендикулярных прямых переходит в другую, поскольку обе проходят через \(O\).
2. Поэтому поворот циклически переводит точки пересечения \(P,Q,R,S\) друг в друга. В частности, все четыре расстояния от центра до этих точек равны, а углы между радиусами к соседним точкам равны \(90°\).
3. Четырёхугольник с четырьмя равными сторонами и четырьмя прямыми углами — квадрат.

Следовательно, точки пересечения данных прямых со сторонами исходного квадрата являются вершинами квадрата.