9. (4 балла) На сторонах AB и CD прямоугольника ABCD взяты точки K и M так, что AKCM — ромб. Диагональ AC составляет со стороной AB угол 30°. Найдите сторону ромба, если наибольшая сторона прямоугольника равна 3.

Обозначим ширину прямоугольника \(AB=w\), высоту \(BC=h\). Поскольку диагональ \(AC\) образует с \(AB\) угол \(30°\), имеем \(h/w=\tan 30°=1/\sqrt3\). Наибольшая сторона прямоугольника — \(AB=3\), поэтому \(w=3\), \(h=\sqrt3\).

Пусть сторона ромба равна \(s=AK\). Сторона \(KC\) тоже равна \(s\). Горизонтальная проекция \(KC\) равна \(w-s\\), а вертикальная — \(h\), поэтому \(s^2=(w-s)^2+h^2\). Подставим значения: \(s^2=(3-s)^2+3\). После сокращения получаем \(6s=12\), значит, \(s=2\).

Ответ: 2.