11. ABCD — ромб. Диагонали пересекаются в точке O. Из O опущены перпендикуляры OK на BC и OP на CD. Доказать: OK = OP.

Диагональ BD делит ромб на два равновеликих треугольника BCD и ABD. Для треугольника BCD основание BC, а высота из D равна расстоянию от D до BC. Для треугольника ABD основание AD, а высота из B равна расстоянию от B до AD. Поскольку BC = AD, эти расстояния равны. Однако данное утверждение о расстояниях OK и OP из этого не следует.

Для ромба с диагоналями, пересекающимися в O, точки O и высоты к сторонам BC и CD образуют прямоугольные треугольники. Так как O равноудалена от вершин, а стороны BC и CD равны, расстояния от O до этих сторон равны: обе высоты выражаются как половина произведения диагоналей, делённая на сторону ромба. Следовательно, OK = OP.

Ответ: OK = OP.