4. ABCD — прямоугольник. Точки A₁, B₁, C₁, D₁ — середины сторон AB, BC, CD, AD соответственно. Доказать: A₁B₁C₁D₁ — ромб.

Рассмотрим треугольники ABC, BCD, CDA и DAB. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, равен половине третьей стороны.

1. В треугольнике ABC: A₁B₁ = AC/2.
2. В треугольнике BCD: B₁C₁ = BD/2.
3. В треугольнике CDA: C₁D₁ = AC/2.
4. В треугольнике DAB: D₁A₁ = BD/2.
5. Диагонали прямоугольника равны, AC = BD. Значит, A₁B₁ = B₁C₁ = C₁D₁ = D₁A₁.

Четырёхугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.

Ответ: A₁B₁C₁D₁ — ромб.