3. ABCD — прямоугольник. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Из B опущен перпендикуляр BE на AC; OE = 4, ∠ACD = 60°. Найти: AC.

Пусть стороны прямоугольника имеют длины AD = w и AB = h. Угол между AC и CD равен 60°, поэтому угол между AC и AD равен 30°, откуда h/w = tan 30° = 1/√3.

Обозначим длину диагонали AC через L. Диагонали прямоугольника пересекаются и делятся пополам, значит O — середина BD. В прямоугольном треугольнике ABE проекция точки B на AC — точка E. Поскольку O — середина BD, расстояние OE равно половине разности проекций A и B на AC:

OE = (w² − h²)/(2L).

Так как L² = w² + h² и h² = w²/3, получаем OE = L/4. По условию OE = 4, следовательно, L = 16.

Ответ: AC = 16.