11. Медианы треугольника ABC, проведённые из вершин B и C, пересекаются под прямым углом. Найдите длину медианы, проведённой из вершины A, если длина стороны BC равна 18 см.

Обозначим точку пересечения медиан через G и примем её за начало координат. Пусть векторы к вершинам B и C равны \(\vec b\) и \(\vec c\). Медианы из B и C проходят через G, поэтому их направления задаются этими векторами. По условию \(\vec b\perp\vec c\).

Поскольку G — центр тяжести, вектор к A равен \(-\vec b-\vec c\). Из перпендикулярности следует, что \(BC=|\vec b-\vec c|=\sqrt{|b|^2+|c|^2}=18\), а значит, \(|\vec b+\vec c|=18\).

Середина BC имеет вектор \((\vec b+\vec c)/2\). Поэтому длина медианы из A равна \(\left|\frac{\vec b+\vec c}{2}-(-\vec b-\vec c)\right|=\frac32|\vec b+\vec c|=27\) см.

Ответ: 27 см.