9. В треугольнике ABC дано: AB = a, BC = 3a, ∠ABC = 90°. Найдите длину биссектрисы BD.

По теореме Пифагора \(AC^2=a^2+(3a)^2=10a^2\). Формула длины биссектрисы из вершины B при прилегающих сторонах \(a\) и \(3a\): \(BD^2=AB\cdot BC\left(1-\frac{AC^2}{(AB+BC)^2}\right)\).

Подставим данные: \(BD^2=3a^2\left(1-\frac{10a^2}{16a^2}\right)=\frac{9a^2}{8}\). Поэтому \(BD=\frac{3a\sqrt2}{4}\).

Ответ: \(\frac{3a\sqrt2}{4}\).