8. Прямая пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках P и M соответственно. Найдите отношение площадей треугольника MCB к площади треугольника APM, если AP : PB = 2 : 3 и AM : MC = 1 : 4.

Из отношения \(AP:PB=2:3\) следует, что \(AP/AB=2/5\). Из отношения \(AM:MC=1:4\) следует, что \(AM/AC=1/5\).

Треугольники ABM и ABC имеют общую высоту к прямой AC, поэтому \(S_{ABM}=\frac15S_{ABC}\). Тогда \(S_{MCB}=S_{ABC}-S_{ABM}=\frac45S_{ABC}\).

Треугольник APM получается масштабированием сторон AB и AC от вершины A, поэтому \(S_{APM}=\frac25\cdot\frac15S_{ABC}=\frac{2}{25}S_{ABC}\).

Следовательно, \(\frac{S_{MCB}}{S_{APM}}=\frac{4/5}{2/25}=10\).

Ответ: 10 : 1.