11) При каком значении параметра a плоскости P: 3x₁ + x₂ + x₃ + 1 = 0 и Q: x₁ + ax₂ + 3x₃ + 2 = 0 будут перпендикулярны?

Нормали плоскостей: \(n_P=(3,1,1)\), \(n_Q=(1,a,3)\). Для перпендикулярных плоскостей их нормали должны быть перпендикулярны: \(n_P\cdot n_Q=0\).

\(3+a+3=0\), поэтому \(a=-6\).

Ответ: \(a=-6\).