№ 11. РЕ и MF высоты треугольника MNP. MF пересекает РЕ в точке О. Какие из высказываний верны:

Решение:

Высоты треугольника пересекаются в одной точке — ортоцентре.

Рассмотрим треугольники:

1) \( \triangle ENP \) и \( \triangle PFM \) — эти треугольники не обязательно подобны.

2) \( \triangle MFP \) и \( \triangle PEM \) — это прямоугольные треугольники, но их подобие не очевидно.

3) \( \triangle MNP \) и \( \triangle MOP \) — \( \triangle MOP \) является частью \( \triangle MNP \), их подобие не гарантировано.

4) \( \triangle MEO \) и \( \triangle PFO \) — рассмотрим эти треугольники. \( ∠ MOE = ∠ POF \) (вертикальные углы). \( ∠ MEO = 90^° \) (так как PE — высота). \( ∠ PFO = 90^° \) (так как MF — высота).

Таким образом, \( ∠ MOE = ∠ POF \) и \( ∠ MEO = ∠ PFO = 90^° \). По двум углам треугольники \( \triangle MEO \) и \( \triangle PFO \) подобны.

Ответ: 4) \( \triangle MEO \sim \triangle PFO \).