№ 15. В трапеции ABCD (BC || AD) BC = 9 см, AD = 16 см, BD = 18 см. Точка О — точка пересечения АС и BD. Найдите ОВ.

Решение:

В трапеции ABCD с основаниями BC и AD, диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

Рассмотрим треугольники \( △ BOC \) и \( △ DOA \).

Так как \( BC ‖ AD \), то \( ∠ OBC = ∠ ODA \) (накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD).

Также \( ∠ OCB = ∠ OAD \) (накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC).

\( ∠ BOC = ∠ DOA \) (вертикальные углы).

Следовательно, \( △ BOC ∼ △ DOA \) по двум углам.

Из подобия следует отношение сторон:

\( \frac{OB}{OD} = \frac{BC}{AD} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{OB}{OD} = \frac{9}{16} \)

Мы знаем, что \( BD = OB + OD = 18 \) см.

Из \( \frac{OB}{OD} = \frac{9}{16} \) следует, что \( OB = \frac{9}{16} OD \).

Подставим это в уравнение \( OB + OD = 18 \):

\( \frac{9}{16} OD + OD = 18 \)

\( OD (\frac{9}{16} + 1) = 18 \)

\( OD (\frac{9+16}{16}) = 18 \)

\( OD (\frac{25}{16}) = 18 \)

\( OD = 18 × \frac{16}{25} = \frac{288}{25} \)

Теперь найдём \( OB \):

\( OB = BD - OD = 18 - \frac{288}{25} \)

\( OB = \frac{18 × 25 - 288}{25} = \frac{450 - 288}{25} = \frac{162}{25} \)

\( OB = 6.48 \)

Ответ: 6,48 см.