11. Укажите решение неравенства 9x² > 1.

Задание 11

Решим неравенство 9x² > 1.

1. Перенесём 1 в левую часть: 9x² - 1 > 0.
2. Это разность квадратов: (3x)² - 1² > 0.
3. Разложим на множители: (3x - 1)(3x + 1) > 0.
4. Найдем корни уравнения (3x - 1)(3x + 1) = 0. Корни: 3x - 1 = 0 => 3x = 1 => x = 1/3, и 3x + 1 = 0 => 3x = -1 => x = -1/3.
5. Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: (-∞; -1/3), (-1/3; 1/3) и (1/3; +∞).
6. Определим знак выражения (3x - 1)(3x + 1) на каждом интервале:
   • При x = -1 (интервал (-∞; -1/3)): (3(-1) - 1)(3(-1) + 1) = (-3 - 1)(-3 + 1) = (-4)(-2) = 8 > 0.
   • При x = 0 (интервал (-1/3; 1/3)): (3(0) - 1)(3(0) + 1) = (-1)(1) = -1 < 0.
   • При x = 1 (интервал (1/3; +∞)): (3(1) - 1)(3(1) + 1) = (3 - 1)(3 + 1) = (2)(4) = 8 > 0.
7. Нас интересует, где выражение больше нуля (> 0). Это интервалы (-∞; -1/3) и (1/3; +∞).
8. Поскольку неравенство строгое (>), концы интервалов не включаются.

Ответ: 1) (-∞; -1/3) U (1/3; +∞)