111. a) Simplify the expression: \(\frac{25^3 \cdot 14^2}{49 \cdot 10^6}\)

Решение:

1. Разложим основания степеней на простые множители: \(25 = 5^2\), \(14 = 2 \cdot 7\), \(49 = 7^2\), \(10 = 2 \cdot 5\)
2. Подставим в выражение: \(\frac{(5^2)^3 \cdot (2 \cdot 7)^2}{7^2 \cdot (2 \cdot 5)^6}\)
3. Применим свойства степеней \((a^m)^n = a^{mn}\) и \((ab)^n = a^n b^n\): \(\frac{5^6 \cdot 2^2 \cdot 7^2}{7^2 \cdot 2^6 \cdot 5^6}\)
4. Сократим одинаковые множители: \(\frac{2^2}{2^6}\)
5. Применим свойство степеней \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\): \(2^{2-6}\)
6. Упростим: \(2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}\)

Ответ: 1/16