B) Simplify the expression: \(\frac{36^3 \cdot 15^2}{18^4 \cdot 10^3}\)

Решение:

1. Разложим основания степеней на простые множители: \(36 = 2^2 \cdot 3^2\), \(15 = 3 \cdot 5\), \(18 = 2 \cdot 3^2\), \(10 = 2 \cdot 5\)
2. Подставим в выражение: \(\frac{(2^2 \cdot 3^2)^3 \cdot (3 \cdot 5)^2}{(2 \cdot 3^2)^4 \cdot (2 \cdot 5)^3}\)
3. Применим свойства степеней \((a^m)^n = a^{mn}\) и \((ab)^n = a^n b^n\): \(\frac{2^6 \cdot 3^6 \cdot 3^2 \cdot 5^2}{2^4 \cdot 3^8 \cdot 2^3 \cdot 5^3}\)
4. Объединим степени с одинаковыми основаниями: \(\frac{2^6 \cdot 3^8 \cdot 5^2}{2^7 \cdot 3^8 \cdot 5^3}\)
5. Сократим одинаковые множители и применим свойство \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\): \(\frac{1}{2^{7-6} \cdot 5^{3-2}}\)< li>
6. Упростим: \(\frac{1}{2^1 \cdot 5^1} = \frac{1}{10}\)

Ответ: 1/10