г) Simplify the expression: \(\frac{(3^{15} + 3^{13}) \cdot 2^9}{(3^{14} + 3^{12}) \cdot 1024}\)

Решение:

1. Вынесем общий множитель \(3^{13}\) из первой скобки в числителе: \(3^{13} (3^2 + 1)\)
2. Упростим: \(3^{13} (9 + 1) = 3^{13} \cdot 10\)
3. Вынесем общий множитель \(3^{12}\) из второй скобки в знаменателе: \(3^{12} (3^2 + 1)\)
4. Упростим: \(3^{12} (9 + 1) = 3^{12} \cdot 10\)
5. Подставим упрощенные выражения в дробь: \(\frac{3^{13} \cdot 10 \cdot 2^9}{3^{12} \cdot 10 \cdot 1024}\)
6. Сократим 10: \(\frac{3^{13} \cdot 2^9}{3^{12} \cdot 1024}\)
7. Применим свойство \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) для степеней 3: \(3^{13-12} \cdot \frac{2^9}{1024}\)
8. Упростим: \(3^1 \cdot \frac{2^9}{1024}\)
9. Заметим, что \(1024 = 2^{10}\): \(3 \cdot \frac{2^9}{2^{10}}\)< li>
10. Применим свойство \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) для степеней 2: \(3 \cdot 2^{9-10} = 3 \cdot 2^{-1}\)
11. Преобразуем: \(3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\)

Ответ: 3/2