B) Simplify the expression: \(\frac{108 \cdot 6^7 - 108 \cdot 6^6}{216^3 - 36^4}\)

Решение:

1. Вынесем общий множитель \(108 \cdot 6^6\) из числителя: \(\frac{108 \cdot 6^6 (6 - 1)}{216^3 - 36^4}\)
2. Упростим числитель: \(\frac{108 \cdot 6^6 \cdot 5}{216^3 - 36^4}\)
3. Представим основания степеней в знаменателе через простые множители: \(216 = 6^3\), \(36 = 6^2\)
4. Подставим в знаменатель: \((6^3)^3 - (6^2)^4\)
5. Применим свойство степеней \((a^m)^n = a^{mn}\): \(6^9 - 6^8\)
6. Вынесем общий множитель \(6^8\) из знаменателя: \(6^8 (6 - 1) = 6^8 \cdot 5\)
7. Подставим упрощенный знаменатель в дробь: \(\frac{108 \cdot 6^6 \cdot 5}{6^8 \cdot 5}\)
8. Сократим 5 и применим свойство \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\): \(108 \cdot \frac{6^6}{6^8} = 108 \cdot 6^{6-8} = 108 \cdot 6^{-2}\)
9. Преобразуем: \(\frac{108}{6^2} = \frac{108}{36} = 3\)

Ответ: 3