6) Simplify the expression: \(\frac{12^2 \cdot 35^3}{28^2 \cdot 15^4}\)

Решение:

1. Разложим основания степеней на простые множители: \(12 = 2^2 \cdot 3\), \(35 = 5 \cdot 7\), \(28 = 2^2 \cdot 7\), \(15 = 3 \cdot 5\)
2. Подставим в выражение: \(\frac{(2^2 \cdot 3)^2 \cdot (5 \cdot 7)^3}{(2^2 \cdot 7)^2 \cdot (3 \cdot 5)^4}\)
3. Применим свойства степеней \((a^m)^n = a^{mn}\) и \((ab)^n = a^n b^n\): \(\frac{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^3 \cdot 7^3}{2^4 \cdot 7^2 \cdot 3^4 \cdot 5^4}\)
4. Сократим одинаковые множители и применим свойство \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\): \(\frac{7^{3-2}}{3^{4-2} \cdot 5^{4-3}}\)< li>
5. Упростим: \(\frac{7^1}{3^2 \cdot 5^1} = \frac{7}{9 \cdot 5} = \frac{7}{45}\)

Ответ: 7/45