12. Доказать тождества: а) $2\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)=\cos\alpha+\sqrt3\sin\alpha$; б) $2\cos\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)=\sqrt3\cos\alpha-\sin\alpha$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 12. Доказать тождества: а) $2\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)=\cos\alpha+\sqrt3\sin\alpha$; б)…$ Фото задания

12. Доказать тождества: а) $2\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)=\cos\alpha+\sqrt3\sin\alpha$; б) $2\cos\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)=\sqrt3\cos\alpha-\sin\alpha$.

Accepted Answer

а) Раскроем синус суммы: $2\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)=2\left(\sin\frac{\pi}{6}\cos\alpha+\cos\frac{\pi}{6}\sin\alpha\right)=2\left(\frac12\cos\alpha+\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha\right)=\cos\alpha+\sqrt3\sin\alpha$.

б) Раскроем косинус суммы: $2\cos\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)=2\left(\cos\frac{\pi}{6}\cos\alpha-\sin\frac{\pi}{6}\sin\alpha\right)=2\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha-\frac12\sin\alpha\right)=\sqrt3\cos\alpha-\sin\alpha$.

Оба тождества доказаны.

12. Доказать тождества: а) \(2\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)=\cos\alpha+\sqrt3\sin\alpha\); б) \(2\cos\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)=\sqrt3\cos\alpha-\sin\alpha\).

Ответ: