15. Вычислить $\sin\frac\alpha2,\ \cos\frac\alpha2,\ g\frac\alpha2$, если а) $\cos\alpha=-\frac12,\ \frac\pi2<\alpha<\pi$; б) $ g\alpha=2\sqrt2,\ \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 15. Вычислить $\sin\frac\alpha2,\ \cos\frac\alpha2,\ g\frac\alpha2$, если а) \(\cos\alpha=-\frac12,\…$ Фото задания

15. Вычислить $\sin\frac\alpha2,\ \cos\frac\alpha2,\ g\frac\alpha2$, если а) $\cos\alpha=-\frac12,\ \frac\pi2<\alpha<\pi$; б) $ g\alpha=2\sqrt2,\ \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$.

Accepted Answer

а) Так как $\frac\pi2<\alpha<\pi$, то $\frac\pi4<\frac\alpha2<\frac\pi2$: все функции половинного угла положительны. По формулам половинного угла: $\sin\frac\alpha2=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=\frac{\sqrt3}{2}$, $\cos\frac\alpha2=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}=\frac12$, следовательно, $ g\frac\alpha2=\sqrt3$.

б) Угол $\alpha$ в III четверти; из $ g\alpha=2\sqrt2$ и тождества $1+ g^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha}$ получаем $|\cos\alpha|=\frac13$. В III четверти $\cos\alpha=-\frac13$, $\sin\alpha=-\frac{2\sqrt2}{3}$. Поскольку $\frac\pi2<\frac\alpha2<\frac{3\pi}{4}$, половинный угол во II четверти. Поэтому $\sin\frac\alpha2=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=\frac{\sqrt6}{3}$, $\cos\frac\alpha2=-\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}=-\frac{\sqrt3}{3}$, $ g\frac\alpha2=-\sqrt2$.

Ответ: а) $\sin\frac\alpha2=\frac{\sqrt3}{2},\ \cos\frac\alpha2=\frac12,\ g\frac\alpha2=\sqrt3$; б) $\sin\frac\alpha2=\frac{\sqrt6}{3},\ \cos\frac\alpha2=-\frac{\sqrt3}{3},\ g\frac\alpha2=-\sqrt2$.

15. Вычислить \(\sin\frac\alpha2,\ \cos\frac\alpha2,\ g\frac\alpha2\), если а) \(\cos\alpha=-\frac12,\ \frac\pi2<\alpha<\pi\); б) \( g\alpha=2\sqrt2,\ \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}\).

Ответ: