12. ET — биссектриса треугольника ZER. Через середину ET проведена прямая, перпендикулярная ET и пересекающая стороны ZE и ER в точках M и N соответственно. а) Найдите периметр четырехугольника EMTN, если ME = 37 см; б) найдите углы этого четырехугольника, если ∠Z = 71°, ∠R = 102°.

Треугольники, образованные отрезком ET и прямой MN, симметричны относительно ET: точка пересечения MN с ET — середина ET, а MN ⟂ ET. Поэтому EM = EN и TM = TN. Так как ME = 37 см, EN = 37 см, а периметр четырёхугольника EMTN равен 2(EM + MT). Длина MT не задана, поэтому численный периметр найти нельзя.

б) Условие для углов противоречиво: в треугольнике сумма углов равна 180°, тогда как 71° + 102° = 173°, и для угла E остаётся 7°. Однако ET — биссектриса угла E, и указанные данные не определяют дополнительно форму четырёхугольника? При заданных углах угол E = 7°, половина его равна 3.5°. Углы четырехугольника EMTN: при E и T — прямые? Поскольку MN ⟂ ET, симметрия даёт углы при M и N по 90°; оставшиеся углы при E и T зависят от угла между ET и сторонами. Здесь угол между ZE и ET равен 3.5°, значит ∠MET = 90° − 3.5° = 86.5°, ∠ETN = 90° − 3.5° = 86.5°; при M и N углы прямые.

Для пункта а) не хватает длины MT (или дополнительных данных о треугольнике). Пункт б): углы четырёхугольника — 86.5°, 90°, 86.5°, 97°? Сумма должна быть 360°; по указанным данным исходные углы несовместимы с равенством углов при биссектрисе и построением, уточните условие.