12.В коробке 8 ручек: 5 синих и 3 чёрных. Вероятность, что синяя ручка пишет хорошо — 0,9, а чёрная — 0,6. Наугад берут одну ручку. Какова вероятность, что она пишет плохо?

Задание 12. Вероятность, что ручка пишет плохо

Дано:

• Всего ручек: 8
• Синих ручек: 5
• Чёрных ручек: 3
• Вероятность, что синяя ручка пишет хорошо: \( P(\text{синяя пишет хорошо}) = 0.9 \)
• Вероятность, что чёрная ручка пишет хорошо: \( P(\text{чёрная пишет хорошо}) = 0.6 \)

Найти: Вероятность того, что наугад взятая ручка пишет плохо.

Решение:

1. Сначала найдем вероятности того, что ручки пишут плохо. Это противоположные события:
• Вероятность, что синяя ручка пишет плохо: \( P(\text{синяя пишет плохо}) = 1 - P(\text{синяя пишет хорошо}) = 1 - 0.9 = 0.1 \)
• Вероятность, что чёрная ручка пишет плохо: \( P(\text{чёрная пишет плохо}) = 1 - P(\text{чёрная пишет хорошо}) = 1 - 0.6 = 0.4 \)
2. Теперь найдем общую вероятность того, что наугад взятая ручка пишет плохо. Для этого используем формулу полной вероятности.
3. Вероятность взять синюю ручку: \( P(\text{синяя}) = \frac{5}{8} \)
4. Вероятность взять чёрную ручку: \( P(\text{чёрная}) = \frac{3}{8} \)
5. Общая вероятность того, что ручка пишет плохо, равна сумме произведений вероятности взять ручку каждого цвета на вероятность того, что именно эта ручка пишет плохо:
• \( P(\text{пишет плохо}) = P(\text{синяя}) \cdot P(\text{синяя пишет плохо}) + P(\text{чёрная}) \cdot P(\text{чёрная пишет плохо}) \)
• \( P(\text{пишет плохо}) = \frac{5}{8} \cdot 0.1 + \frac{3}{8} \cdot 0.4 \)
• \( P(\text{пишет плохо}) = \frac{0.5}{8} + \frac{1.2}{8} \)
• \( P(\text{пишет плохо}) = \frac{1.7}{8} \)
6. Переведем в десятичную дробь:
• \( \frac{1.7}{8} = 0.2125 \)

Ответ: 0.2125