8.В коробке 8 белых, 6 чёрных и 2 жёлтых шара. Случайно выбирают два шара. Найдите вероятность того, что выбраны один белый и один чёрный.

Задание 8. Вероятность выбора одного белого и одного чёрного шара

Дано:

• Белых шаров: 8
• Чёрных шаров: 6
• Жёлтых шаров: 2
• Всего шаров: \( 8 + 6 + 2 = 16 \)
• Выбирают два шара.

Найти: Вероятность того, что выбраны один белый и один чёрный шар.

Решение:

1. Общее число способов выбрать 2 шара из 16 (без учета порядка) вычисляется с помощью сочетаний:
• \( C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
• \( C_{16}^{2} = \frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{16!}{2!14!} = \frac{16 \times 15}{2 \times 1} = 8 \times 15 = 120 \)
2. Число способов выбрать один белый шар из 8:
• \( C_{8}^{1} = \frac{8!}{1!(8-1)!} = \frac{8!}{1!7!} = 8 \)
3. Число способов выбрать один чёрный шар из 6:
• \( C_{6}^{1} = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1!5!} = 6 \)
4. Число способов выбрать один белый и один чёрный шар:
• \( m = C_{8}^{1} \cdot C_{6}^{1} = 8 \times 6 = 48 \)
5. Вероятность искомого события:
• \( P = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}} = \frac{48}{120} \)
• Сократим дробь: \( \frac{48}{120} = \frac{24}{60} = \frac{12}{30} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \)
6. В десятичной форме: \( \frac{2}{5} = 0.4 \)

Ответ: 0.4