7.В круг радиуса 8 см вписан правильный треугольник. В круг наудачу ставится точка. Найдите вероятность, что она не попадёт в треугольник. Результат округлить до тысячных.

Задание 7. Вероятность попадания точки вне треугольника

Дано:

• Радиус круга: \( R = 8 \) см.
• В круг вписан правильный треугольник.

Найти: Вероятность того, что точка, поставленная наудачу в круг, не попадёт в треугольник. Результат округлить до тысячных.

Решение:

1. Вероятность события равна отношению площади благоприятной области к общей площади. В данном случае, благоприятная область — это площадь круга за вычетом площади треугольника.
2. Найдем площадь круга:
• \( S_{\text{круг}} = \pi R^2 = \pi (8)^2 = 64\pi \) см².
3. Найдем сторону правильного треугольника, вписанного в круг. Формула связи стороны \( a \) и радиуса описанной окружности \( R \):
• \( a = R\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \) см.
4. Найдем площадь правильного треугольника:
• \( S_{\text{треугольник}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \)
• \( S_{\text{треугольник}} = \frac{(8\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = 16 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = 48\sqrt{3} \) см².
5. Площадь области, где точка не попадёт в треугольник:
• \( S_{\text{вне треугольника}} = S_{\text{круг}} - S_{\text{треугольник}} = 64\pi - 48\sqrt{3} \) см².
6. Найдем вероятность:
• \( P = \frac{S_{\text{вне треугольника}}}{S_{\text{круг}}} = \frac{64\pi - 48\sqrt{3}}{64\pi} = 1 - \frac{48\sqrt{3}}{64\pi} = 1 - \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \)
7. Подставим приближенные значения \( π \approx 3.14159 \) и \( ρ \approx 1.73205 \):
• \( P \approx 1 - \frac{3 \cdot 1.73205}{4 \cdot 3.14159} \)
• \( P \approx 1 - \frac{5.19615}{12.56636} \)
• \( P \approx 1 - 0.41349 \)
• \( P \approx 0.58651 \)
8. Округлим до тысячных:
• \( P \approx 0.587 \)

Ответ: 0.587