12) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями \(y=1-x^2\), осью \(x\) и \(y=(x-1)^2\).

Точки пересечения: \(1-x^2=0\) при \(x=-1,1\); \((x-1)^2=0\) при \(x=1\); две параболы пересекаются при \(1-x^2=(x-1)^2\), то есть при \(x=0,1\). Искомая замкнутая область состоит из части под первой параболой на отрезке \([-1;0]\) и части под второй на \([0;1]\).

\[S=\int_{-1}^{0}(1-x^2)\,dx+\int_{0}^{1}(x-1)^2\,dx=\frac23+\frac13=1.\]

Ответ: 1 квадратная единица.