13. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О и равны 12 и 16. Найдите длину вектора $$\vec{AO} + \vec{BO}$$.

Решение:

В ромбе \( ABCD \) диагонали \( AC = 16 \) и \( BD = 12 \). Диагонали пересекаются в точке \( O \), при этом \( AO = OC = 8 \) и \( BO = OD = 6 \). Векторы \( \vec{AO} \) и \( \vec{BO} \) перпендикулярны, так как диагонали ромба перпендикулярны.

Длина суммы векторов \( \vec{AO} + \vec{BO} \) равна длине диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах. В данном случае, это вектор \( \vec{AC'} \), где \( C' \) — вершина параллелограмма \( AOBC' \).

По теореме Пифагора, найдем длину \( |\vec{AO} + \vec{BO}| \) из прямоугольного треугольника \( AOB \) (где \( \angle AOB = 90^{\circ} \)):

\[ |\vec{AO} + \vec{BO}| = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \]

Ответ: 10.