7. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину суммы векторов $$\vec{AO}$$ и $$\vec{BO}$$.

Решение:

В прямоугольнике \( ABCD \) стороны \( AB = 8 \) и \( AD = 6 \). Диагонали \( AC = BD = 10 \). Точка \( O \) — середина диагоналей. Следовательно, \( AO = BO = CO = DO = \frac{1}{2} AC = 5 \).

Векторы \( \vec{AO} \) и \( \vec{BO} \) выходят из одной точки \( O \) и образуют угол. Построим параллелограмм \( AOBC \). Тогда \( \vec{AO} + \vec{BO} = \vec{AC'} \), где \( C' \) - вершина этого параллелограмма.

Рассмотрим треугольник \( AOB \). Стороны \( AO = 5 \), \( BO = 5 \). Угол \( \angle AOB = 180^{\circ} - \angle DOC \). Угол \( \angle DOC \) находится из прямоугольного треугольника \( DOC \) (или \( DOC \)). В \( \triangle DOC \), \( OC = OD = 5 \).

Более простой путь: \( \vec{AO} + \vec{BO} \) — это диагональ параллелограмма, построенного на векторах \( \vec{AO} \) и \( \vec{BO} \).

Рассмотрим \( \triangle AOB \). \( AO=5, BO=5 \).

Используя теорему косинусов для \( \triangle AOB \) для нахождения \( AB \) (мы знаем, что \( AB=8 \)), чтобы найти \( \cos(\angle AOB) \):

\[ AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 AO \cdot BO \cdot \cos(\angle AOB) \]

\[ 8^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos(\angle AOB) \]

\[ 64 = 25 + 25 - 50 \cdot \cos(\angle AOB) \]

\[ 64 = 50 - 50 \cdot \cos(\angle AOB) \]

\[ 14 = -50 \cdot \cos(\angle AOB) \]

\[ \cos(\angle AOB) = -\frac{14}{50} = -0.28 \]

Теперь найдем длину суммы \( \vec{AO} + \vec{BO} \). Обозначим эту сумму как \( \vec{S} \). Длина \( |\vec{S}| \) находится по теореме косинусов в параллелограмме \( AOBC \).

Длина диагонали \( |\vec{S}| \) равна:

\[ |\vec{S}|^2 = AO^2 + BO^2 + 2 AO \cdot BO \cdot \cos(\angle AOB) \]

\[ |\vec{S}|^2 = 5^2 + 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot (-0.28) \]

\[ |\vec{S}|^2 = 25 + 25 - 50 \cdot 0.28 \]

\[ |\vec{S}|^2 = 50 - 14 = 36 \]

\[ |\vec{S}| = \sqrt{36} = 6 \]

Ответ: 6.