14. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О и равны 12 и 16. Найдите длину вектора $$\vec{AO} - \vec{BO}$$.

Решение:

В ромбе \( ABCD \) диагонали \( AC = 16 \) и \( BD = 12 \). Точка \( O \) — середина диагоналей. \( AO = OC = 8 \) и \( BO = OD = 6 \). Векторы \( \vec{AO} \) и \( \vec{BO} \) перпендикулярны.

Разность векторов \( \vec{AO} - \vec{BO} \) равна вектору \( \vec{BO'} \), где \( O' \) — вершина параллелограмма \( AOBO' \).

По теореме Пифагора, найдем длину \( |\vec{AO} - \vec{BO}| \) из прямоугольного треугольника \( AOB \):

\[ |\vec{AO} - \vec{BO}| = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \]

Ответ: 10.