14. (3 балла). Доказать, что при $a\ne\pm5$ значение выражения $\left(\dfrac{3}{25-a^2}+\dfrac{1}{a^2-10a+25}\right)\dfrac{(5-a)^2}{2}+\dfrac{3a}{a+5}$ не зависит от значения переменной $a$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 14. (3 балла). Доказать, что при $a\ne\pm5$ значение выражения…$ Фото задания

14. (3 балла). Доказать, что при $a\ne\pm5$ значение выражения $\left(\dfrac{3}{25-a^2}+\dfrac{1}{a^2-10a+25}\right)\dfrac{(5-a)^2}{2}+\dfrac{3a}{a+5}$ не зависит от значения переменной $a$.

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители: $25-a^2=(5-a)(5+a)$, $a^2-10a+25=(a-5)^2=(5-a)^2$.

Приведём сумму в скобках к общему знаменателю:

$\dfrac{3}{(5-a)(5+a)}+\dfrac{1}{(5-a)^2}=\dfrac{3(5-a)+(5+a)}{(5-a)^2(5+a)}$.

Числитель равен $3(5-a)+(5+a)=20-2a=2(10-a)$. Следовательно, исходное выражение после умножения на $\dfrac{(5-a)^2}{2}$ и прибавления последнего слагаемого даёт:

$\dfrac{10-a}{5+a}+\dfrac{3a}{a+5}=\dfrac{10-a+3a}{a+5}=\dfrac{10+2a}{a+5}=2$.

Получили одно и то же число для всех допустимых значений $a$.

Ответ: значение выражения не зависит от $a$ и равно 2.

14. (3 балла). Доказать, что при \(a\ne\pm5\) значение выражения \(\left(\dfrac{3}{25-a^2}+\dfrac{1}{a^2-10a+25}\right)\dfrac{(5-a)^2}{2}+\dfrac{3a}{a+5}\) не зависит от значения переменной \(a\).

Ответ: