14. Докажите, что у равнобедренной трапеции равны: а) диагонали; б) углы при основаниях.

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, AD ∥ BC, AB = CD.

а) Опустим перпендикуляры из B и C на AD. Полученные прямоугольные треугольники у боковых сторон равны по гипотенузе (AB = CD) и равным высотам трапеции. Значит, проекции боковых сторон на большее основание равны. При этом средняя часть основания общая для прямоугольных треугольников, образованных диагоналями. По теореме Пифагора диагонали имеют равные квадраты длин, поэтому AC = BD.

б) Треугольники ABD и DCA равны по трём сторонам: AB = CD, AD — общая сторона, BD = AC. Поэтому соответствующие углы при основании AD равны: ∠DAB = ∠CDA. Так как углы при каждом боковом ребре трапеции смежные, верхние углы также равны: ∠ABC = ∠BCD.