15. Докажите, что если углы при основании трапеции равны, то эта трапеция равнобедренная.

Пусть ABCD — трапеция, AD ∥ BC, и углы при основании AD равны: ∠DAB = ∠CDA. Опустим перпендикуляры из B и C на прямую AD.

Полученные прямоугольные треугольники имеют равные острые углы при основании и равные высоты (расстояния между параллельными прямыми). Следовательно, треугольники равны, а значит, их гипотенузы равны: AB = CD.

Таким образом, боковые стороны трапеции равны, следовательно, трапеция равнобедренная.