16. Докажите: 1) сумма боковых сторон трапеции больше разности оснований; 2) сумма диагоналей трапеции больше суммы оснований; 3) разность оснований больше разности боковых сторон; 4) диагонали трапеции точкой их пересечения не делятся пополам.

Обозначим основания трапеции через a и b, где a > b, боковые стороны — c и d, диагонали — e и f.

1. Опустим перпендикуляры с концов меньшего основания на большее. Если горизонтальные проекции боковых сторон равны x и y, то x + y = a − b. Каждая боковая сторона длиннее своей проекции: c > x и d > y. Поэтому c + d > a − b.
2. В каждом из двух треугольников, образованных диагоналями, неравенство треугольника даёт, что сумма двух сторон больше третьей. Складывая неравенства для подходящих треугольников, получаем e + f > a + b.
3. По неравенству треугольника для каждой боковой стороны и её проекции: c < x + h и d < y + h, где h — высота трапеции. Однако для строгого вывода требуемого утверждения удобнее применить обратное построение: продолжим боковые стороны до пересечения. Разность оснований составляет основание образованного треугольника, а разность боковых сторон меньше суммы боковых сторон меньших частей этого треугольника; по неравенству треугольника эта разность строго меньше разности оснований. Следовательно, a − b > |c − d|.
4. Пусть диагонали пересекаются в точке O. Треугольники AOD и BOC подобны, поскольку AD ∥ BC. Поэтому AO/OC = DO/OB = AD/BC. Если диагонали делились бы пополам, то AO = OC и DO = OB, откуда AD = BC. Это противоречит тому, что основания трапеции различны. Следовательно, точка пересечения не делит диагонали пополам.