№ 14 На окружности с центром О и диаметром АВ отмечена точка С. так, что угол СОВ равен 120°, АС=23. Найдите диаметр окружности

Решение:

Угол \( ∠ COB = 120^\circ \). Так как \( OA = OB = OC \) (радиусы), то треугольник \( △ COB \) — равнобедренный.

Углы при основании \( ∠ OCB = ∠ OBC \). Сумма углов в треугольнике \( 180^\circ \).

\[ ∠ OCB = ∠ OBC = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \]

Угол \( ∠ ACB \) — вписанный угол, опирающийся на диаметр \( AB \), значит, он равен \( 90^\circ \).

В треугольнике \( △ ABC \): \( ∠ BAC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).

Теперь используем теорему синусов для \( △ ABC \):

\[ \frac{AC}{\sin(∠ OBC)} = \frac{AB}{\sin(∠ ACB)} \]

\[ \frac{23}{\sin(30^\circ)} = \frac{AB}{\sin(90^\circ)} \]

\[ \frac{23}{0.5} = \frac{AB}{1} \]

\[ AB = 23 × 2 = 46 \]

Диаметр окружности равен AB.

Ответ: 46.